Teorema de Bayes

La interpretación más aceptada del teorema de Bayes, es que su estructura permite el calculo de probabilidades después de haber sido realizado un experimento (probabilidades aposteriori), basándose en el conocimiento de la ocurrencia de ciertos eventos que dependan del evento estudiado, o sea, se parte de probabilidades conocidas antes de efectuar el experimento (probabilidades apriori), las cuales son afectadas por las probabilidades propias del experimento (las que aparecen durante la ocurrencia del evento).

Continuando nuestro análisis sobre el teorema de Bayes, la probabilidad condicional deAi dado B, para cualquier i, es:

Aplicando en el numerador la Regla de Multiplicación P(AiÇB) = P(Ai) P(B|Ai) y en el denominador el Teorema de Probabilidad Total P(B) = P(A1) P(B | A1) + P(A2) P(B | A2) + . . . + P(An) P(B | An), obtenemos la ecuación que representa al:

Teorema de bayes:

Ejemplo

A un congreso asisten 100 personas, de las cuales 65 son hombres y 35 son mujeres. Se sabe que el 10% de los hombres y el 6% de las mujeres son especialistas en computación. Si se selecciona al azar a un especialista en computación ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?

Solución

Definamos los eventos:

H: Sea un hombre

M: Sea una mujer

E: La persona sea especialista en computación


Tenemos que:







Por lo tanto:

Proyecto

Practica 5

Practica 5 ejercicio 1

1.-Si se lanzan dos dados, uno rojo y otro negro, y se observa la pareja de numeros que quedan hacia arriba. Cuantos elementos tiene el espacio de eventos? Muestre el espacio muestral. Señale con colores el espacio muestral.

Practica 5 ejercicio 2

2.-En el experimento del lanzamiento de dos dados. Cual es la probabilidad de que:

a) La suma de los dos numeros sea 11 (Evento A).

b) Que los dos dados queden hacia arriba con el mismo numero (Evento B).

c) Que los dos valores sean pares (Evento C).

Practica 5 ejercicio 3

3.-En un plantel  de estudiantes hay siete miembros distiguidos, entre quienes se va seliccionar, al azar, un comite de tres personas que los represente en la sociedad de alumnos. Observe que cada grupo que se forme con tres personas es una combinacion. Cual es el total de grupos que pueden formarse.

a) Cual es la probabilidad de que Pedro Perez, Juan Lopez y Daniel Rojas, constituyan dicho comite (Evento A).

b) Se desea calcular la probabilidad de que Pedro Perez, el estudiante mas distinguido, forme parte del comite (Evento B), es necesario calcular el numero n(B), de grupos que pueden formarse en los que se incluya a Pedro Perez.

Practica 5 ejercicio 4

4.-En una caja se tienen 15 focos, cinco de los cuales estan fundidos (no encienden). Si se sacan tres focos al azar. Cual es la probabilidad de que ninguno de ellos este fundido (Evento K).

Practica 5 ejercicio 5

5.-En una sala se encuentran cinco matrimonios. Si se escogen dos personas al azar. Cual es la probabilidad de que sean marido y mujer (Evento R).

5.b Si las dos personas seleccionadas han de bailar con la otra, cual es la probabilidad de que un hombre baile con otro (Evento V).

5.c Calcular la probabilidad de seleccionar un hombre y una mujer (Evento A).

5.d Calcule la probabilidad de seleccionar por lo menos a un hombre (Evento B).

5.d Calcule la probabilidad de no seleccionar ningun hombre (Evento C).

Practica 5 ejercicio 6

6.-De diez mujeres que toman un curso de probabilidades, tres nacieron en Guadalajara, Jalisco. Si se escogen al azar dos de las diez para resolver un problema en clase. Cual es la probabilidad de que:

1.-Las dos hayan nacido en Guadalajara (Evento G)

2.-Ninguna de las dos haya nacido en Guadalajara, Jalisco (Evento R).

3.-Solo una haya nacido ahi (Evento L).

Ejercicios del libro Introduccion a las probabilidades empleando excel

1) Analisis combinatorio

A) Factorial

ejercicios 1, 2 y 3. pagina 1 y 2.

B) Permutaciones

ejercicios 1 y 2. pagina 3 y 4.

C) Combinaciones

ejercicios 1 y 2. pagina 5 y 6.

2) Conceptos basicos

A) Experimento.- Es toda accion sobre la cual vamos a realizar una medicion u observacion, es decir cualquier proceso que genera un resultado definido.

B) Experimento Aleatorio.- Es toda actividad cuyos resultados no se determinan con certeza. Ejemplo: lanzar una moneda al aire. No podemos determionar con toda certeza ¿cual sera el resultado al lanzar una moneda al aire?, por lo tanto constituye un experimento aleatorio.

C) Espacio Muestral (S).- Es un conjunto de todos los resultados posibles que se pueden obtener al realizar un experimento aleatorio. Ejemplo: sea el experimento E: lanzar un dado y el espacio muestral correspondiente a este experimento es: S={1, 2, 3 , 4 , 5, 6}.

D) Punto Muestral.- Es un elemento del espacio muestral de cualquier experimento dado.

E) Evento o Suceso.- Es todo subconjunto de un espacio muestral. Se denotan con letras mayusculas: A, B, etc. Los resultados que forman parte de este evento generalmente se conocen como "resultados favorables". Cada vez que se observa un resultado favorable, se dice que "ocurrio" un evento. Ejemplo: Sea el experimento E: lanzar un dado. Un posible evento podria ser que salga numero par. Definimos el evento de la siguiente maner: A= sale numero par= {2, 4, 6}, resultados favorables, n(E)=3

Los eventos pueden ser:

i) Evento cierto.- Un evento es cierto o seguro si se realiza siempre. Ejemplo: Al introducirnos en el mar, en condiciones normales, es seguro que nos mojaremos.

ii) Evento imposible.- Un evento es imposible si nunca se realiza. al lanzar un dado una sola vez, es imposible que salga un 10.

iii) Evento probable o aleatorio.- Un evenoto es aleatorio si no se puede precisar de antemano el resultado. Ejemplo: ¿Al lanzar un dado, saldra el numero 3?

F) Probabilidad.- Es el conjunto de posibilidades de que un evento ocurra o no en un momento y tiempo determinado. Dichos eventos pueden ser medibles a traves de una escala de 0 a 1, donde el evento es de 1 (evento cierto).

La probabilidad de que ocurra un evento, siendo esta una medida de las posibilidad de que un suceso ocurra favorablemente, se determina principalmente de dos formas: empiricamente (de manera experimental) o teoricamente (de forma matematica).

i) Probabilidad empirica.- Si E es un evento que puede ocurrir cuando se realiza un experimento, entocnes la probabilidad empirica del evento E, que a veces se le denomina definicion de frecuencia relativa de la probabilidad, esta dada por la siguiente formula:

Nota: P(E) se lee probabilidad del evento E.

ejercicios 1 y 2. pagina 7 y 8.

ii) Probabilidad teorica.- Si todos los resultados en un espacion muestral S finito son igualmente probables, y E es un evento en ese espacio muestral, entonces la probabilidad teorica del evento E esta dada por la siguiente formila, que aveces se le denomina la definicion clasica de la probabilidad, expuesta por Pierre Laplace en su famosa Teoria analitica de la probabilidad publicada en 1812:

ejercicios 1, 2, 3, 4 y 5. pagina 9 a la 15.

Fuente:

http://www.docentesinnovadores.net/Archivos/5744/INTRODUCCI%C3%93N%20A%20LAS%20PROBABILIDADES%20EMPLEANDO%20EXCEL.pdf

Practica 4

Practica 4 ejercicio 1

1.-Hacer el siguiente problema en matlab.

Al preguntarle a 60 personas por el numero de personas que viven en su casa, hemos obtenido las siguientes respuestas:

2 3 4 4 1 2 3 3 4 2

2 1 3 3 6 2 4 4 1 3

4 6 3 2 4 5 3 1 5 2

1 4 3 2 3 6 4 1 6 5

3 4 2 1 5 5 2 2 1 5

6 4 5 2 3 3 1 2 3 6

1 4 2 3 3 5 5 2 6 1

a) Elabore la tabla de frecuencias y grafique histograma de frecuencias relativas.

b) Calcular media, mediana, varianza, desviacion estandar, rango, Q1, Q3, d1, d4, d8 y coeficiente de variacion.

Practica 4 ejercicio 2

2.-Hacer el siguiente problema en matlab.

Generar 100 valores en forma aleatoria en el rango del 1-500.

a) Elaborar la tabla de frecuencias y graficar la frecuencia absoluta

b) Calcular media, mediana, varianza, desviacion estandar, rango, Q1, Q3, d1, d4, d8 y coeficiente de variacion.

Practica 4 ejercicio 3

3.-Hacer el siguiente problema en matlab.

En una empresa de telefonia estan interesados en saber cual es el numero de aparatos telefonicos (incluidos telefonos moviles) que se tienen en las viviendas. Se hace la encuesta, y hasta ahora, han recibido las siguientes respuestas.

4 2 4 2 3 2 2 3 4 1

3 4 4 2 3 1 2 3 2 3

2 1 3 2 1 3 2 1 4 3

3 1 2 1 3 2 3 2 4 1

3 1 2 2 4 3 2 3 5 2

2 2 1 1 4 1 1 3 3 1

3 2 3 2 2 1 2 1 4 3

1 1 2 2 3 2 3 2 4 4

a) Elabore la tabla de frecuencias y grafique poligono de frecuencias absolutas.

b) Calcular media, mediana, varianza, desviacion estandar, rango, Q1, Q3, d1, d4, d8, coeficiente de variacion.

Practica 4 ejercicio 4

4.-El presidente de la junta directiva afirma: "hay 50% de posibilidades de que esta compañia obtenga utilidades; 30% de que termine sin perdidas ni ganancias y 20% de que pierda dinero durante el proximo trimestre".

a) Aplique una de las reglas de la adicion para determinar la probabilidad de que la compañia no pierda dinero el siguiente trimestre.

b) Aplique la regla del complemeto para determinar la probabilidad de que no pierda dinero el proximo semestre.

Practica 4 ejercicio 5

5.-Suponga que la probabilidad de que saque A en esta clase es de 0.25 y que la probabilidad de obtener una B es 0.50. 

¿Cual es la probabilidad de que su calificacion  sea mayor que C?

Practica 4 ejercicio 6

6.-Se lanza al aire dos monedas si A es el evento dos caras y B es el evento dos cruces. A y B son mutuamente excluyentes? Son complementos?

Practica 4 ejercicio 7

7.-Las probabilidades de los eventos A y B son 0.20 y 0.30, respectivamente. La probabilidad de que A y B ocurranes de 0.15.

¿Cual es la probabilidad de que A o B ocurran?

Practica 4 ejercicio 8

8.-En una biblioteca que consta de 250 libros, 20 de ellos estan escritos en ingles y el resto en español.

¿Cual es la probabilidad de que un libro elegido al azar, entre los 250 de dicha biblioteca, este escrito en ingles?

Ejercicios en clase Unidad 1 parte 2

Ejercicio 3.1

3.1.-Hacer la practica 1 en matlab.

Practica 1 Ejercicio 1

1.-Al preguntarle a 40 personas por el numero de personas que viven en su casa, hemos obtenido las siguientes respuestas:

5 3 4 4 1 2 3 3 4 5
2 1 3 3 6 2 4 4 1 5
4 5 3 2 4 5 3 1 5 2
1 4 3 2 3 4 4 2 6 1

a) Elaborar una tabla de frecuencias.

b) Representación gráfica de Sectores y Barras.

Practica 1 Ejercicio 2

2.-En una empresa de telefonía están interesados en saber cual es el numero de aparatos telefónicos (incluidos teléfonos móviles) que se tienen en las viviendas. Se hace la encuesta, y hasta ahora, han recibido las siguientes respuestas:

4 2 5 6 3 2 2 3 5 1

3 4 4 2 3 5 2 3 5 6

2 3 3 2 1 4 2 1 4 3

3 3 2 1 3 2 2 3 4 1

a) Elaborar una tabla de frecuencias.

b) Representación gráfica de Sectores y Barras.

Practica 1 Ejercicio 3

3.-Generar 50 números aleatorios en el rango del 1-10.

a) Elaborar una tabla de frecuencias.

b) Representación gráfica.

Practica 1 Ejercicio 4

4.-Se ha preguntado a 30 personas por el numero de días que practican deporte a la semana y se han tenido los siguientes datos:

3 3 2 1 0 5 1 0 4 7
0 4 1 2 6 4 1 3 0 1
1 0 0 5 7 4 3 5 2 2

a) Elaborar una tabla de frecuencias.

b) Representación gráfica de Sectores y Barras.

Ejercicio 3.2

3.2.-Un inspector de control de calidad selecciona una pieza para probarla. Luego, La declara aceptable, reparable o chatarra. Entonces se prueba otra pieza. Elabore una lista de los posibles resultados de este experimento relacionado con 2 piezas.

Ejercicio 3.3

3.3.-Una encuesta de 34 estudiantes en Wall College of Business mostro que estos tienen las siguientes especialidades:

Contabilidad 10, Finanzas 5, Economia 3, Administracion 6 y Marketting 10. Suponga que elige a un estudiante y observa su especialidad.

a) Cual es la probabilidad de que el estudiante tenga una especialidad en administracion?

b) Cual es la probabilidad de que 2 estudiantes tengan especialidad en Marketting?

Ejecicio 3.4

3.4.-Una muestra de 2000 conductores con licencia revelo la siguiente cantidad de violaciones al limite de velocidad.

Cantidad de violaciones                                              Cantidad de conductores

0          1910, 1 46, 2  18, 3 12, 4  9, 5 o mas 5 total                 2000

a) Cual es la probabilidad de que un conductor haya cometido 2 violaciones al limite de velocidad?

b) Cual es la probabilidad de que un conductor haya cometido 1 volacion al limite de velocidad?

c) Cual es la probabilidad de que un conductor haya cometido 0 violaciones al limite de velocidad?

Ejercicio 3.5

3.5.-Un estudio de 200 empresas de publicidad revelo los siguientes ingresos despues de impuestos:

Menos de $ 1 millon      102, de $ 1 milllon a $ 20 millones    61,  $20 millones o mas       20.

a) Cual es la probabilidad de que una empresa seleccionada al azar tenga ingresos menor a $ 1 millon?

b) Cual es la probabilidad de que una empresa de publicidad seleccionada al azar tenga un ingreso entre $ 1 millon y $ 20 millones o un ingreso de $ 20 millones o mas?

Practica 3

Practica 3 ejercicio 1

1.-En años recientes, como consecuencia de las bajas tasas de interes, muchos propietarios de casas refinanciaron sus creditos. Linda Lahey es agente hipotecaria de Down River Federal Saving and Loan. A continuacion aparecen las sumas refinanciadas de 30 prestamos a los que les dio curso la semana pasada. Los datosse expresan en miles de dolares:

90.2  100.7  100.2  85.8  89.2  77.3  66.6  101.20  87.2  74.8

110.5  89.2  69.3  91.7  100.9  68.45  78.45  90.1  87.50  65.40

83.7  59.5  67.90  101.25  118.30  69.2  88.34  78.50  90.2  74.8

a) Calcule media, varianza, mediana, moda, el primer cuartil y el tercer cuartil.

b) trace el diagrama de caja de los datos

Practica 3 ejercicio 2

 2.-A continuacion se proporciona el tamaño de la pantalla de 23 televisores LCD. Elabore un diagrama de tallos y hojas de esta variable.

46 52 46 40 42 46 40 37 46 40 52 32 37 32 52 40 32 52 40 52 46 46 52

Practica 3 ejercicio 3

3.-La American Society of PeriAnesthesia Nurses es una organizacion estadounidense que agrupa enfermeras que se desempeñan en el cuidado preanestesia y posanestesia en cirugias ambulatorias. La organizacion comprende 38 componentes, que se enlistan a continuacion.

Estado    Membresia Estado        Membresia    Estado      Membresia Estado   Membresia

Alabama        95         Arizona               399          Maruland             531   Illinois             562

Florida           631       Georgia              384          Hawaii                  73     Louisiana      258

Indiana           270       Iowa                    117          Kentucky              197   Minmesota    289

Michigan        411       Massachusetts  480          Maine                   97     Nevada          106

Mississipi      90         Nebraska           115           Noth Caroline     542   Oklahoma      171

Alaska            517      New York            708           Ohio                    891   Pennsylvania  575

Arkansas        68        California           1165         New mexico        79     Texas              1026

Rhode Island  53        Colorado            409          South   Carolina  237   Vermont          144

Tennessee     167       Utah                    67            Virginia                414

Wisconsin      311       West Virginia    62       Connectcut          239

a) Calcule media, varianza, mediana, moda, el primer cuartil y el tercer cuartil.

b) trace el diagrama de caja de los datos.

Practica 3 ejercicio 4

4.-La asociacion Americana de Diabetes recomienda una lectura de valores de glucosa sanguinea menor a 130 para quienes tienen diabetes tipo 2. La glucosa sanguinea mide la cantidad de azucar en la sangre. A continuacion se presentan las lecturas de agosto de una persona que fue recientemente diagnosticada con este tipo de diabetes.

112 122 116 103 112 96 115 98 106 111 106 124 116 108 112 121 115 124 116 107 118 123 109 109 106 111 98 109 122 119 110

a) Cual es la media aritmetica de la lectura de glucosa sanguinea?

b) Cual es la mediana de la lectura de glucosa sanguinea?

c) Cual es la moda de la lectura de glucosa sanguinea?

d) Cual es el cuartil Q1, Q2 y Q3.

e) Cual es el decil d2, d4, d6 y d8.

f) Rango.

g) Diagrama de caja.